Bentuk Akar

Pengertian dan Sifat Bilangan Bentuk Akar

Bilangan bentuk akar adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk akar atau pangkat rasional dari bilangan bulat atau pecahan. Sebagai contoh, $\sqrt{2}$ dan $\frac{3}{\sqrt{5}}$ adalah bilangan bentuk akar. Sifat-sifat dari bilangan bentuk akar antara lain:

1. Operasi hitung bilangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan aturan matematika yang sama seperti operasi bilangan biasa, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

2. Dua bilangan bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika memiliki bentuk akar yang sama. Misalnya, $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$, sedangkan $2\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$ tidak dapat dijumlahkan karena memiliki bentuk akar yang berbeda.

3. Dalam perkalian dua bilangan bentuk akar, akar-akar dapat disederhanakan dengan mengalikan nilai-nilai di luar akar dan nilai-nilai di dalam akar secara terpisah. Misalnya, $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$, karena 2 x 8 = 16.

4. Pembagian dua bilangan bentuk akar dapat disederhanakan dengan mengalikan baik pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut. Misalnya, $\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}$ dapat disederhanakan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan $4\sqrt{3}$, sehingga hasilnya adalah $\frac{3\sqrt{15}}{12}$.

5. Bilangan bulat atau pecahan yang tidak memiliki bentuk akar yang tepat dapat dinyatakan dalam bentuk desimal yang tak terhingga atau dalam bentuk pecahan campuran. Sebagai contoh, $\frac{5}{\sqrt{2}}$ dapat dinyatakan dalam bentuk desimal 3,536…, atau dalam bentuk pecahan campuran $7\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Perkalian Bilangan Bentuk Akar

Perkalian bilangan bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikan koefisien (bilangan sebelum tanda akar) dan mengalikan radikal (akar) dengan akar yang serupa. Misalnya, untuk mengalikan $\sqrt{a}$ dan $\sqrt{b}$, dapat dilakukan dengan mengalikan keduanya sehingga menjadi $\sqrt{ab}$. Contoh lainnya, untuk mengalikan $2\sqrt{3}$ dengan $3\sqrt{5}$, dapat dilakukan dengan mengalikan koefisien 2 dan 3 sehingga menjadi 6, dan mengalikan akar 3 dengan akar 5 sehingga menjadi $\sqrt{15}$. Dengan demikian, hasil perkaliannya adalah $6\sqrt{15}$.

Pembagian Bilangan Bentuk Akar

Pembagian bilangan bentuk akar dapat dilakukan dengan membagi koefisien (bilangan sebelum tanda akar) dan membagi radikal (akar) dengan akar yang serupa. Misalnya, untuk membagi $\sqrt{a}$ dan $\sqrt{b}$, dapat dilakukan dengan membagi keduanya sehingga menjadi $\sqrt{\frac{a}{b}}$. Contoh lainnya, untuk membagi $4\sqrt{10}$ dengan $2\sqrt{5}$, dapat dilakukan dengan membagi koefisien 4 dan 2 sehingga menjadi 2, dan membagi akar 10 dengan akar 5 sehingga menjadi $\sqrt{2}$. Dengan demikian, hasil pembagiannya adalah $2\sqrt{2}$.

Namun, perlu diperhatikan bahwa dalam pembagian bilangan bentuk akar, harus dipastikan bahwa penyebutnya tidak sama dengan 0, karena bilangan akar tidak bisa dibagi dengan 0.

Contoh Soal Bilangan Bentuk Akar

1. Hitunglah nilai dari $\sqrt{75} - \sqrt{48}$. Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menghitung terlebih dahulu nilai dari $\sqrt{75}$ dan $\sqrt{48}$. Kita dapat menyederhanakan akar-akar tersebut sebagai berikut: $$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$ $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$ Substitusikan kedua nilai tersebut ke dalam soal: $$\sqrt{75} - \sqrt{48} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \sqrt{3}$$ Jadi, nilai dari $\sqrt{75} - \sqrt{48}$ adalah $\sqrt{3}$.

2. Jika $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ dan $b = \sqrt{2} - \sqrt{3}$, hitunglah nilai dari $a^2 - 2ab + b^2$. Kita dapat menyelesaikan soal ini dengan menggunakan rumus $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Kita tahu bahwa: $$(a-b)^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12$$ Sehingga: $$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 = 12$$ Jadi, nilai dari $a^2 - 2ab + b^2$ adalah 12.

3. Jika $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, maka berapakah nilai dari $x^2 - 5x + 1$?
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4
   E. 5
   
   Penyelesaian:
   Dari persamaan $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, kita bisa kuadratkan kedua sisi sehingga didapatkan $x^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$. Jadi: $$\begin{align} x^2 - 5x + 1 &= (5 + 2\sqrt{6}) - 5(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 1 \newline &= 6 + 2\sqrt{6} - 5\sqrt{2} - 5\sqrt{3} \newline &= (6 - 5\sqrt{3}) + (2\sqrt{6} - 5\sqrt{2}) \newline \end{align}$$ Jadi, jawabannya adalah D.

4. Jika $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ dan $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$, maka berapakah nilai dari $x^2 + 4xy + y^2$?
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4
   E. 5
   
   Penyelesaian:
   Dari persamaan $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ dan $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$, kita bisa menghitung $x^2 dan\ y^2$ sebagai berikut: $$\begin{align} x^2 &= (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 \newline &= 2 + 2\sqrt{6} + 3 \newline &= 5 + 2\sqrt{6} \newline y^2 &= (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 \newline &= 2 - 2\sqrt{6} + 3 \newline &= 5 - 2\sqrt{6} \newline \end{align}$$ Selanjutnya, kita dapat menghitung $xy$ sebagai berikut: $$\begin{align} xy &= (\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \newline &= 2 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 3 \newline &= 5 - 2\sqrt{6} \newline \end{align}$$ Maka, $x^2 + 4xy + y^2$ dapat dihitung sebagai berikut: $$\begin{align} x^2 + 4xy + y^2 &= (5 + 2\sqrt{6}) + 4(5 - 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) \newline &= 15 \newline \end{align}$$ Jadi, jawabannya adalah C.