Contoh Soal Besaran Vektor (2)

Berikut adalah contoh soal terkait Besaran Vektor - Part 2

1. Sebuah benda dengan massa 2 kg diletakkan pada permukaan licin dan diberi gaya sebesar 10 N pada arah 30 derajat ke atas dari sumbu x positif. Tentukan akselerasi benda dan perpindahan setelah 2 detik.
   
   Jawaban:
   
   Faktor-faktor yang diberikan:
   massa \(m\) = 2 kg
   gaya \(F\) = 10 N
   sudut \(θ\) = 30°
   waktu \(t\) = 2 s
   keadaan permukaan = licin
   
   Untuk menyelesaikan soal ini, perlu dicari komponen gaya pada sumbu \(x\) dan \(y\) dan kemudian dihitung akselerasinya. Setelah itu, dapat dihitung perpindahan benda setelah 2 detik.
   
   Komponen gaya pada sumbu x dan y dapat dicari dengan menggunakan trigonometri:
   $$F_x = F\cos\theta = 10\text{ N}\cos 30^\circ = 8.66\text{ N}$$ $$F_y = F\sin\theta = 10\text{ N}\sin 30^\circ = 5\text{ N}$$ Karena permukaan licin, maka tidak ada gaya gesekan. Sehingga, gaya total pada sumbu \(x\) sama dengan massa dikalikan dengan percepatan pada sumbu \(x\):
   $$F_x = ma_x \rightarrow a_x = \frac{F_x}{m} = \frac{8.66\text{ N}}{2\text{ kg}} = 4.33\text{ m/s}^2$$ Gaya total pada sumbu y sama dengan massa dikalikan dengan percepatan pada sumbu \(y\), sehingga: $$F_y = ma_y \rightarrow a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{5\text{ N}}{2\text{ kg}} = 2.5\text{ m/s}^2$$ Akselerasi total dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras: $$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(4.33\text{ m/s}^2)^2 + (2.5\text{ m/s}^2)^2} = 4.98\text{ m/s}^2$$ Perpindahan dapat dicari dengan menggunakan rumus: $$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$ Karena benda awalnya diam dan hanya dipengaruhi oleh gaya, maka kecepatan awal adalah 0 m/s dan perpindahan pada sumbu \(x\) adalah: $$x = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(4.98\text{ m/s}^2)(2\text{ s})^2 = 9.96\text{ m}$$ Jadi, akselerasi benda adalah 4.98 m/s² dan perpindahan setelah 2 detik adalah 9.96 m pada sumbu \(x\).

2. Sebuah pesawat terbang bergerak dengan kecepatan 400 km/jam dan membentuk sudut 30 derajat terhadap arah utara. Tentukan komponen horizontal dan vertikal dari kecepatan pesawat.
   
   Jawaban:
   
   Komponen horizontal dari kecepatan pesawat dapat dihitung dengan rumus \(v_h = v \cos \theta\), sedangkan komponen vertikal dapat dihitung dengan rumus \(v_v = v \sin \theta\), di mana \(v\) adalah kecepatan pesawat dan \(\theta\) adalah sudut yang dibentuk oleh kecepatan pesawat dengan arah utara. Dalam satuan SI, 400 km/jam sama dengan 111.1 m/s. Dengan demikian, $$v_h = 111.1 \text{ m/s} \cos 30^\circ = 96.2 \text{ m/s}$$ $$v_v = 111.1 \text{ m/s} \sin 30^\circ = 55.6 \text{ m/s}$$ Jadi, kecepatan horizontal pesawat adalah 96.2 m/s dan kecepatan vertikal pesawat adalah 55.6 m/s.

3. Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s. Jika percepatan gravitasi adalah 9.8 m/s² ke arah bawah, tentukan waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketinggian maksimum dan ketinggian maksimum tersebut.
   
   Jawaban:
   
   Pertama-tama, kita dapat menggunakan rumus kecepatan untuk menghitung waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai titik tertinggi. Pada titik tertinggi, kecepatan bola sama dengan nol, sehingga kita dapat menggunakan persamaan \(v = v_0 + at\) dengan \(v = 0\), \(v_0 = 20 m/s\) dan \(a = -9.8 m/s^2\), maka: $$0 = 20 - 9.8t$$ $$t = \frac{20}{9.8} \approx 2.04 \text{ s}$$ Jadi, waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketinggian maksimum adalah sekitar 2.04 detik. Ketinggian maksimum dapat dihitung menggunakan rumus posisi pada titik tertinggi : $$h = h_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$ Dalam hal ini, \(h_0 = 0\), \(v_0 = 20 m/s\), dan \(a = -9.8 m/s^2\), sehingga $$h = 0 + 20 \times 2.04 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.04)^2 \approx 20.2 \text{ m}$$ Jadi, ketinggian maksimum bola adalah sekitar 20.2 meter.

4. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 50 km/jam ke arah timur. Kemudian, mobil tersebut belok ke arah utara dan bergerak dengan kecepatan 40 km/jam. Tentukan besar dan arah vektor perubahan kecepatan mobil.
   
   Jawaban:
   
   Perubahan kecepatan adalah selisih antara kecepatan akhir dan kecepatan awal mobil: $$\Delta \vec{v} = \vec{v_f} - \vec{v_i}$$ Kecepatan awal mobil adalah 50 km/jam ke arah timur, yang dapat dituliskan sebagai vektor sebagai berikut: $$\vec{v_i} = 50\text{ km/jam}\ \hat{i}$$ Kecepatan akhir mobil adalah 40 km/jam ke arah utara, yang dapat dituliskan sebagai vektor sebagai berikut: $$\vec{v_f} = 40\text{ km/jam}\ \hat{j}$$ Maka, perubahan kecepatan dapat dihitung sebagai berikut: $$\Delta \vec{v} = \vec{v_f} - \vec{v_i} = 40\text{ km/jam}\ \hat{j} - 50\text{ km/jam}\ \hat{i}$$ Untuk mengetahui besarnya perubahan kecepatan, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras: $$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(40\text{ km/jam})^2 + (-50\text{ km/jam})^2} = 64.03\text{ km/jam}$$ Untuk mengetahui arah perubahan kecepatan, kita dapat menggunakan trigonometri dan menghitung sudut antara vektor perubahan kecepatan dan sumbu \(x\) positif: $$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{-50\text{ km/jam}}{40\text{ km/jam}}\right) = -51.34^\circ$$ Jadi, besar perubahan kecepatan adalah 64.03 km/jam, dan arah perubahan kecepatan membentuk sudut sebesar 51.34 derajat di bawah sumbu \(x\) positif.